Tõnu Tõnso krüptoaritmeetika veebileht

Enamus meist on kohanud ülesandeid, kus tuleb tähed asendada numbritega 0 - 9, nii et võrdus kehtiks. Ühele ja samale tähele vastab ülesandes üks ja sama number, aga erinevatele tähtedele vastavad erinevad numbrid. Mõnel sellisel ülesandel on üks vastus, mõnel aga kaks või rohkem vastust. Näiteks vasakul oleval Henry Ernest Dudeney poolt 1924. aastal koostatud ülesandel on üks vastus, aga paremal pool oleval Ülo Kaasiku poolt koostatud ülesandel on kaks vastust.

                          N E L I     6 3 4 2     8 0 5 6
  S E N D     9 5 6 7   + N E L I   + 6 3 4 2   + 8 0 5 6
+ M O R E   + 1 0 8 5     N E L I     6 3 4 2     8 0 5 6
M O N E Y   1 0 6 5 2   T O S I N   1 9 0 2 6   2 4 1 6 8

Seda matemaatika valdkonda, mis tegeleb niisuguste ülesannete koostamise ja lahendamisega nimetatakse krüptoaritmeetikaks. Krüptoaritmeetika ülesandeid on koostanud paljud matemaatika popularisaatorid, sealhulgas Sam Lloyd, Henry Ernest Dudeney, Jakov Perelman ja Martin Gardner. Paljud klassikaliseks loetavad krüptoaritmeetika ülesanded on esmakordselt publitseeritud Belgias 1931-1939 ilmunud prantsuskeelses ajakirjas "Sphinx", mille krüptoaritmeetika toimetajaks ja paljude ülesannete autoriks oli M. Pigeolet.

Krüptoaritmeetika puhul on tegemist teatavate "salakirjadega", milles kodeeritud kujul esitatakse aritmeetilisi tehteid ja ruutjuure leidmist. Kui ülesandes pole teisiti öeldud, siis vastab samale tähele ühe ülesande ulatuses sama number ja erinevatele tähtedele vastavad erinevad numbrid. Kui ülesande tekstis pole arvusüsteemi kohta midagi öeldud, siis on tähed kümnendsüsteemi numbrite koodideks. Kõigis ülesannetes eeldatakse, et ükski kirjutatud täisarv ei alga numbriga null.

Krüptoaritmeetika alla kuuluvad ka n. n. aukliku aritmeetika ülesanded, milles tuleb taastada aritmeetilised tehted, aga sealjuures on osa numbreid või nende tähelisi koode "kustutatud". Kustutatud numbri kohta tähistatakse tavaliselt kas tärni või punktikesega ja sellel kohal võib olla mistahes number. Järgnevas on toodud ära kaks aukliku aritmeetika ülesannet. Neist esimese analoog ilmus ajakirjas "Sphinx" 1933. aastal, teises ülesandes on antud üksainus number.

1)       N E L I     2)                              
      x N E L I         * * * * * * * *   * * *    
      * * * * *       -   * * *           * * 8 * *
    * * * * *               * * * *                
  * * * * *               -   * * *                
* * * * *                       * * * *            
* * * * N E L I               - * * * *            

Järgmised kaks aukliku aritmeetika ülesannet on eelmistest pisut raskemad. Neist esimesel on kaks lahendit, teine on samuti üks kuulus ülesanne, mis loodud Henry E. Dudeney poolt.


3)                   4)   * * * * * * * *   * * *    
        N E L I       - * * * *           * 7 * * *
      x N E L I             * * *                  
      * * * * N           - * * *                  
    * * * * E               * * * *                
  * * * * L               -   * * *                
* * * * I                       * * * *            
* * * * * * * *               - * * * *            

Järgmises ülesandes ei ole teada mitte ühtegi numbrit. Kuna jagatises on peale koma neli numbrit, siis polegi selle ülesande lahendamine väga raske.

5)   * * * * * *   * * *          
  - * * *         * * * *, * * * *
        * * *                    
      - * * *                    
          * * *                  
        - * * *                  
            * * *                
          - * * *                
                * * * *          
              - * * * *          

Järgmises ülesandes tuleb asendada tärnid numbritega kahe jagamise puhul, kusjuures on täiendavalt teada, et esimese jagamise jagatis on teisel jagamisel jagatavaks.

6)   * * * * * * * * *   * * *             * * * * * *   * *      
  -   * * *             * * * * * *     - * *           * * * * *
          * * * *                           * * *                
        -   * * *                         -   * *                
              * * *                           * * *              
            - * * *                         - * * *              
              * * * *                           * * *            
            - * * * *                         - * * *            

Et ma olen viimastel aastatel koostanud ajakirja "Horisont" keerdülesannete rubriiki mis kannab nime "Enigma", siis ma kohandasin selle rubriigi jaoks ka ühe ajakirjas "Sphinx" 1934. aastal ilmunud ülesande:

7)           E N I G M A
        x * * * * * * *
            E N I G M A
          A E N I G M  
        M A E N I G    
      G M A E N I      
    I G M A E N        
  N I G M A E          
E N I G M A            
E * * N * I G * * M * A

Krüptoaritmeetika üheks osaks on sõnaaritmeetika. Sõnaaritmeetika puhul üritatakse ülesandeid koostada nii, et kodeeringus kasutatavad tähed moodustaksid sõnu, lauseid ja väljendeid. Sõnaaritmeetika ülesannete koostamine on küllaltki raske, sest siin tuleb lisaks matemaatika tundmisele läbi proovida palju erinevaid variante erinevate sõnadega. Et sõnaaritmeetika ülesande sisu ja vorm sõltuvad keelest, mida ülesande koostamisel kasutatakse, siis ei ole sõnaaritmeetika ülesanded üldjuhul tõlgitavad. See-eest kuuluvad sõnaaritmeetika ülesanded nn etnomatemaatika osana matemaatilisse folkloori ja neist on palju abi matemaatika õpetamise elavdamisel.

Mitmeid toredaid eestikeelseid krüptoaritmeetika ülesandeid on koostanud Ülo Kaasik. Neid ülesandeid võib leida keerdülesannete kogudest "Lihtsaid ja keerulisi", "Lihtsaid ja keerulisi II" ning "Keerdülesandeid, mis on veidi seotud matemaatikaga". Mõnda Ülo Kaasiku ülesannet võib näha järgmisel joonisel.

                      9)       S E E                
                        x * * O N *                
                            * * * *       10)   Ü K S
                          V E E L             Ü K S
8)   K E E R D           * * * *             + Ü K S
  +   Ü L E S         * * * *                 Ü K S
      A N N E       * * * *                 K A K S
    R A S K E       * R A S K E M *         K U U S

Seitsmendal ülesandel on kolmkümmend erinevat lahendit. Selleks, et saaksime üheainsa lahendi, eeldatakse täiendavalt, et ükski tähtedest ei kujuta numbrit 6.

Omaette klassi sõnaaritmeetika ülesannete hulgas moodustavad "topelttõesed võrdused", mis kehtivad nii sõnalisel kui ka numbrilisel kujul. Lisaks ülaltoodud võrdusele

4 x ÜKS + KAKS = KUUS

on Ülo Kaasik on koostanud kümnendsüsteemis ülesanded:

11)  6 x NULL + 2 x ÜKS = KAKS

ja

12)  4 x NULL + 3 x ÜKS + KAKS = VIIS.

Eesti keeles on topelttõeseid võrdusi vähe. Liidetava "NULL" abil õnnestus mul koostada ülesanded:

13)  3 x NULL + 2 x KAKS + ÜKS = VIIS

ja

14)  4 x NULL + 2 x KAKS + ÜKS = VIIS

Lisaks nulli sisse toomisele aitab topelttõeste võrduste hulka veidi laiendada ka sõnade "pool", "paar" ja "tosin" kasutamine. Nende abil õnnestus mul koostada ülesanded:

15)  KAKS + PAAR + KUUS = KÜMME;
16)  KOLM + 4 x POOL = VIIS;
17)  NELI + 2 x POOL + 2 x NULL= VIIS;
18)  3 x KOLM + 2 x POOL = KÜMME;
19)  2 x NULL + 3 x PAAR = KUUS.

Kõigil neil ülesannetel on üksainus lahend.

Tänapäeval koostatakse enamik krüptoaritmeetika ülesannetest arvuti abil. Nii jõuab rohkem variante läbi mängida. Arvuti abil saab krüptoaritmeetika ülesandeid ka lahendada, paraku võib juhtuda nii, et kõigi võimaluste läbisõelumise tulemusena saame küll vastuse kätte; aga inimene, kes kasutab ainult loogika ning arvuteooria teadmisi ja pliiatsit ning paberit pole võimeline seda vastust oma vahenditega leidma.

Tulemusena on ülesannete koostajad hakanud arutlema teemal, missugune ülesanne on hea krüptoaritmeetikaülesanne ja missugune mitte. Minu arvates on hea ülesanne selline, mis on pliiatsi ja paberi abil mõistliku aja jooksul lahendatav. Hea ülesande puhul ei pea lahendaja liiga palju erinevaid võimalusi läbi vaatama. Heal krüptoaritmeetika ülesandel ei ole ka liiga palju lahendeid. Õnnestunumatel ülesannetel on üks, harvem ka kaks kuni neli lahendit. Kui võimalik on, siis tasub ülesande koostajal vältida ka täiendavate eelduste ja kümnendsüsteemist erinevate arvusüsteemide kasutamist.

Väga hea ülesanne on aga selline, millele annab mingi loo ümber kujundada. Nii luuakse matemaatilist folkloori. Veel näiteid:

20)  9 x ASTE = TREPP

21)  3 x KUU = SUVI

22)  ÜKS + ÜKS + KAKS = PALJU

23)  5 x ÜKS + KAKS = PALJU

24)  ÜKS + JA + ÜKS + JA + KAKS = PALJU

25)  7 x TERA + 5 x IVA = KUHI

26)  A + FAT = ASS

27)  NO + GUN + NO = HUNT

28)  EAT + THAT = APPLE

29)  DAYS + TOO = SHORT

30)  TAKE + A + CAKE = KATE

31)  MAKE + A + CAKE = EMMA

32)  COUPLE + COUPLE = QUARTET

33)  ADAM + AND + EVE = MOVED

34)  WHO + IS + THIS = IDIOT

35)  SCAN + THESE = DIGITS

36)  FIFTY + STATES = AMERICA

37)  TERRIBLE + NUMBER = THIRTEEN

38)  CONTROL + ALT + DELETE = RESTART

39)  EARTH + AIR + FIRE + WATER = NATURE

40)  EVE/DID = .TALKTALKTALK...

41)  9 x MUSKEL = 4 x KELMUS

42)  SAMMAS on ruut

43)  SAADA + VEEL = PAPPI

44)  MART + LAAR = MÕMMI

45)  EU ruudus=roe

46)  cube root(CRAZY)=EU

47)  EU + EURO = USSR

.
Krüptoaritmeetika ülesannete vastused